Elementos finitos
Finite elements
El método de elementos finitos (FEM) es una técnica numérica para resolver una amplia gama de fenómenos físicos complejos, particularmente aquellos que exhiben no linealidades geométricas y materiales (como los que se encuentran a menudo en las ciencias físicas y de la ingeniería). Estos problemas pueden ser de naturaleza estructural, térmica (o termomecánica), eléctrica, magnética, acústica, etc., además de cualquier combinación. Se utiliza con mayor frecuencia para abordar problemas que no son fácilmente susceptibles de tratamientos analíticos.
La premisa es muy sencilla; los dominios continuos (geometrías) se descomponen en regiones discretas y conectadas (o elementos finitos). Posteriormente se resuelve un conjunto de ecuaciones a nivel de elemento, con el fin de establecer la respuesta del dominio completo a un conjunto particular de condiciones de contorno.
Hay varios métodos de elementos finitos. Estos son el enfoques directos, que es el método más simple para resolver problemas discretos en 1 y 2 dimensiones; el método de Residuales ponderados, que utiliza las ecuaciones diferenciales que gobiernan directamente (por ejemplo, el método de Galerkin), y el Enfoque variacional, que utiliza el cálculo de variación y la minimización de la energía potencial (por ejemplo, el método de Rayleigh-Ritz).
Análisis de una matriz de
rigidez de truss 1D
La matriz de rigidez juega un papel central en la identificación de la respuesta mecánica en una estructura.
Se puede
observar a partir de la matriz de rigidez de un elemento individual, que es de
naturaleza simétrica, es decir, k_12= k_21. El
atributo de que la matriz de rigidez es simétrica proviene del teorema
recíproco de Maxwell, que establece que para cualquier cuerpo elástico
lineal, el desplazamiento producido en cualquier punto A debido a cierta carga
aplicada en el punto B debe ser igual al desplazamiento producido en el punto B
cuando se aplica la misma carga. en el punto A.
Dado que hemos
asumido que el miembro de celosía es elástico lineal, aquí se aplica el teorema
recíproco de Maxwell y, por lo tanto, la matriz de rigidez es
simétrica. Sin embargo, ¡esto no siempre es cierto! La matriz de
rigidez tiende a volverse asimétrica cuando el material se comporta de manera
no elástica o tiene inestabilidad local, por ejemplo, en problemas que
involucran daños y fallas.
En la matriz de
rigidez de elementos, cualquier componente de rigidez general k _ij
se puede considerar como un término de rigidez (o un parámetro de material) que
relaciona el desplazamiento en la dirección del grado de libertad j con la
fuerza en la dirección del grado de libertad i. En otras palabras, la
cantidad de fuerza requerida en la dirección de dof i para producir
un desplazamiento unitario en la dirección de dof j se representa
como k_ ij. Por lo tanto, de acuerdo con el Teorema de
reciprocidad de Maxwell, k _ij = k _ji debe ser cierto para
el problema de celosía elástica lineal 1D que se está considerando.
[1]. Harsh Sharma,
(Jul 30, 2020), Basics of Finite Element Method - Direct Stiffness Method Part
1, [En línea]. Disponible
en:
[2]. J. Dean, (---), Introduction to the Finite Element Method (FEM), [En línea]. Disponible en: https://www.ccg.msm.cam.ac.uk/images/FEMOR_Lecture_1.pdf
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