Métodos ponderados

Métodos de factores ponderados

Wilber Eleazar Solano Vega

Consiste en asignar factores cualitativos a una serie de factores que se consideran relevantes para la localización. Esto conduce a una comparación cuantitativa de diferentes sitios. El método permite ponderar factores de preferencia para el investigador al tomar la decisión.

Dentro de esta clasificación se encuentran los métodos de residuos ponderados para la solución numérica de ecuaciones iniciales preestablecidas. Entre estos métodos podemos mencionar. El Método de Galerkin, Método de Colocación por Puntos, Método de Colocación por Subdominios, Método de los Momentos y el Método de los Mínimos Cuadrados.

Weighted residual methods (Métodos de los residuos ponderados)

En este método la ecuación original que se desea resolver de manera aproximada no se toma tal cual es, sino que se multiplica por alguna función de ponderación y se integra. A los efectos de la ponderación se puede tomar cualquier conjunto de funciones dadas globalmente, en el sentido de que se extienden a todo el dominio donde se busca la solución aproximada.

Fue por eso que al método de los residuos ponderados se le hizo algunas modificaciones esenciales con relación a su forma original, que condujeron a la creación del método de los elementos finitos, en el cual las funciones de ponderación están definidas de forma local, es decir, en subdominios del dominio general.

Consideremos la ecuación diferencial

sujeta a condiciones de contorno sobre la frontera ∂Ω de la forma 

siendo L y M operadores diferenciales.

Si reemplazamos la solución exacta u(x) por una solución aproximada uA(x) se genera un residuo RΩ en el dominio y un residuo R∂Ω en el contorno, esto es

En el método de los residuos ponderados la idea central consiste en buscar una aproximación uA(x) de la solución u(x) de la forma

Los ai son parámetros a determinar imponiendo las n condiciones

donde las ψi son llamadas funciones de ponderación o de peso.

Methods Collocation (Método de colocación por puntos)

En este método se impone que el residuo sea nulo en n puntos xi del dominio (llamados puntos de colocación), esto es equivalente a adoptar a la función de ponderación ψi como la función δ de Dirac asociada a algún punto particular xi de Ω, i = 1, 2, . . . , n, es decir

De esta manera se obtiene que para i = 1, 2, . . . , n

Sustituyendo uA se obtiene

Methods Subdomain (Métodos por subdominios)

Se impone que el residuo sea nulo en n subregiones Ωi del dominio Ω, con ∪n i=1Ωi = Ω, Ωi ∩ Ωj = ∅ para i 6= j. En este caso, ψi (x) = 1 si x ∈ Ωi y ψi (x) = 0 si x ∈ Ωj , j = 1, . . . , n y j 6= i. De esta manera se obtiene un sistema de ecuaciones residuales

es decir, 

Este método hace que la integral del error sobre el subdominio especificado sea nulo. 

Methods Galerkin (Método de Galerkin)

En este caso las funciones de ponderación (test) ψi se toman iguales a las funciones de prueba (funciones bases) ψi . De esta manera se obtiene

es decir, el sistema de ecuaciones

El ingeniero ruso B.G. Galerkin introdujo su método en 1915, pero esencialmente el mismo concepto fue introducido por Bubnov en 1913. Es por eso que algunos autores se refieren a este esquema como el método de Bubnov-Galerkin. Este método, como se ha indicado, es actualmente un caso especial del enfoque más general llamado el método de los residuos ponderados.

Methods Least squares (Método Mínimos Cuadrados)

En este método las constantes ai se determinan de la condición de hacer mínimo un funcional I

siendo el funcional I definido como

o que equivale a que deberán cumplirse las condiciones

En este caso las funciones de ponderación son iguales a sus respectivos residuos.

[1]. G. Calderón, “Introducción al Método de Elementos Finitos”, Universidad de los Andes Mérida, Venezuela, pp. 2-16.

[2]. D. Alba, D. E. Martínez & J. C. Montaño, “Estudio de Factibilidad para instalar una elaboradora de galletas dulces”, Tesis Licenciatura, Instituto Politécnico Nacional, 2010.